Диагональ прямоугольника равна 20.Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 4 а бо́льшую уменьшить на 4 то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \( a \), а большая сторона — \( b \). По условию задачи, диагональ прямоугольника равна 20, поэтому можем написать уравнение:
\[ \sqrt{a^2 + b^2} = 20. \]
Квадрат обеих частей уравнения дает:
\[ a^2 + b^2 = 400. \quad (1) \]
Теперь по условию увеличиваем меньшую сторону на 4 и уменьшаем большую на 4, при этом диагональ остается прежней:
\[ \sqrt{(a + 4)^2 + (b - 4)^2} = 20. \]
Квадрат обеих частей уравнения даст:
\[ (a + 4)^2 + (b - 4)^2 = 400. \]
Теперь раскроем скобки:
\[ (a^2 + 8a + 16) + (b^2 - 8b + 16) = 400. \]
Соберем все вместе:
\[ a^2 + b^2 + 8a - 8b + 32 = 400. \]
Подставим (1) в это уравнение:
\[ 400 + 8a - 8b + 32 = 400. \]
Сократим на 400:
\[ 8a - 8b + 32 = 0. \]
Упростим уравнение:
\[ 8a - 8b = -32, \]
\[ a - b = -4 \quad (2) \quad \Rightarrow \quad a = b - 4. \]
Теперь подставим выражение \( a = b - 4 \) в уравнение (1):
\[ (b - 4)^2 + b^2 = 400. \]
Раскроем скобки:
\[ (b^2 - 8b + 16) + b^2 = 400, \]
\[ 2b^2 - 8b + 16 = 400. \]
Переместим 400 в другую сторону:
\[ 2b^2 - 8b - 384 = 0. \]
Упростим уравнение, разделив на 2:
\[ b^2 - 4b - 192 = 0. \]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы:
\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, \]
где \( A = 1, B = -4, C = -192 \):
\[ b = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192)}}{2 \cdot 1}, \]
\[ b = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2}, \]
\[ b = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{2}, \]
\[ b = \frac{4 \pm 28}{2}. \]
Это дает два значения:
- \( b = \frac{32}{2} = 16 \)
- \( b = \frac{-24}{2} = -12 \) (не имеет смысла, так как длина не может быть отрицательной)
Теперь найдем \( a \):
\[ a = b - 4 = 16 - 4 = 12. \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны \( a = 12 \) и \( b = 16 \).
Ответ: меньшая сторона 12, большая 16.
