Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой условной вероятности в биномиальном распределении. В данном случае мы хотим найти вероятность того, что Костя попадёт в мишень именно на седьмом выстреле, при этом из десяти выстрелов он должен сделать определённое количество попаданий.
Дано:
- Вероятность попадания в одной попытке ( p = \frac{7}{10} ).
- Вероятность промаха ( q = 1 - p = \frac{3}{10} ).
- Мы ищем вероятность попадания в седьмом выстреле и, соответственно, возможные попадания в первых шести выстрелах.
Вероятность того, что он попадёт ровно в седьмом выстреле и ни разу не попадёт в первых шести выстрелах, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( n ) – общее число попыток (в нашем случае 10),
- ( k ) – число успехов (по условию нам нужно добиться 1 успеха именно на 7-м выстреле),
- ( C(n, k) ) – биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать ( k ) успехов из ( n ) попыток.
Так как попадание должно произойти только на 7-м выстреле, мы знаем, что до этого (в первых шести) попаданий быть не должно, то есть ( k = 1 ) и ( n = 10 ).
Рассмотрим первые шесть выстрелов: вероятность промаха в каждом из этих шести выстрелов будет ( q^6 ), а на седьмом выстреле попадание — ( p ).
Таким образом, вероятность того, что он попадёт в мишень на 7-м выстреле, а до него — не попадёт в первых шести, будет:
[
P = q^6 \cdot p
]
Теперь подставим значения:
[
P = \left(\frac{3}{10}\right)^6 \cdot \left(\frac{7}{10}\right)
]
Вычислим ( \left(\frac{3}{10}\right)^6 = \frac{729}{1000000} ).
Теперь подставим в формулу:
[
P = \frac{729}{1000000} \cdot \frac{7}{10} = \frac{729 \cdot 7}{10000000} = \frac{5103}{10000000}
]
Итак, вероятность того, что Костя попадёт в мишень на седьмом выстреле, равна (\frac{5103}{10000000}) или примерно 0.0005103.
Если будут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!