Для того чтобы определить, сколько различных прямоугольников можно сложить из 100 плиток размером 1×4, начнем с расчета общей площади, которая равна (100 \times 4 = 400) квадратных единиц.
Теперь нам нужно найти такие прямоугольники с целыми положительными размерами, площадь которых равна 400.
Формула для вычисления количества различных прямоугольников с заданной площадью (A) представлена как:
[
П(N) = \text{количество пар чисел }(a, b) : a \times b = A,
]
где (a) и (b) — это длины сторон прямоугольника. Каждая пара ( (a, b) ) должна быть такой, что ( a \leq b ).
Чтобы найти все такие пары, нам нужно разложить 400 на множители. Для этого начнем с нахождения всех делителей числа 400:
Делители 400:
- 1
- 2
- 4
- 5
- 8
- 10
- 16
- 20
- 25
- 40
- 50
- 80
- 100
- 200
- 400
Теперь проделаем следующее:
Для каждого делителя (d) найдём соответствующий делитель (A/d). У нас будет пара ( (d, 400/d) ). Чтобы сосчитать количество различных прямоугольников, оставим только те пары, где (d \leq 400/d), чтобы избежать повторений.
После анализа, вот все соответствующие пары:
- (1, 400)
- (2, 200)
- (4, 100)
- (5, 80)
- (8, 50)
- (10, 40)
- (16, 25)
Всего делается 7 уникальных пар, следовательно, различных прямоугольников можно сложить 7.
Таким образом, существует 7 различных прямоугольников, которые можно сложить из ровно 100 плиток размером 1×4.