На изготовление 108 108 деталей первый рабочий тратит на 7 7 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 169 169 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 5 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Давайте обозначим эффективность первого рабочего как \( x \) деталей за час, а эффективность второго рабочего как \( y \) деталей за час.
Согласно условию, первый рабочий делает на 5 деталей больше, чем второй, поэтому мы можем записать уравнение: \[ x = y + 5 \]
Также известно, что первый рабочий тратит на 7 часов меньше времени на изготовление 108 деталей, чем второй на 169 деталей.
Для первого рабочего, время на изготовление 108 деталей можно вычислить так: \[ \text{Время первого} = \frac{108}{x} \]
Для второго рабочего, время на изготовление 169 деталей: \[ \text{Время второго} = \frac{169}{y} \]
Согласно условию задачи, мы имеем: \[ \frac{108}{x} = \frac{169}{y} - 7 \]
Теперь подставим \( x = y + 5 \) в уравнение со временем. Мы получаем: \[ \frac{108}{y + 5} = \frac{169}{y} - 7 \]
Теперь можем решить это уравнение. Умножим все на \( y(y + 5) \) для устранения знаменателей: \[ 108y = 169(y + 5) - 7y(y + 5) \]
Раскроем скобки: \[ 108y = 169y + 845 - 7y^2 - 35y \]
Соберем все в одно уравнение: \[ 7y^2 + (108y - 169y + 35y) - 845 = 0 \]
Упрощаем: \[ 7y^2 - 26y - 845 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-845) \] \[ D = 676 + 23660 = 24336 \]
Теперь находим корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 156}{14} \]
Теперь определим два корня:
- \( y_1 = \frac{182}{14} = 13 \)
- \( y_2 = \frac{-130}{14} \) (отрицательный корень не имеет смысла в данном контексте)
Теперь мы знаем, что \( y = 13 \). Подставим это значение в уравнение для \( x \): \[ x = y + 5 = 13 + 5 = 18 \]
Следовательно, первый рабочий делает за час 18 деталей.
