На изготовление 108 деталей первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 169 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 5…

Для решения этой задачи давайте обозначим несколько переменных:

• Пусть скорость второго рабочего (количество деталей, которые он делает за час) равна \( x \).
• Тогда скорость первого рабочего будет \( x + 5 \) (так как он делает на 5 деталей больше за час).

Теперь мы можем вычислить время, которое потребуют оба рабочих для изготовления своих деталей:

1. Время, затраченное первым рабочим на изготовление 108 деталей: \[ T_1 = \frac{108}{x + 5} \]

2. Время, затраченное вторым рабочим на изготовление 169 деталей: \[ T_2 = \frac{169}{x} \]

Согласно условию задачи, первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй: \[ T_1 + 7 = T_2 \]

Подставим выражения для \( T_1 \) и \( T_2 \): \[ \frac{108}{x + 5} + 7 = \frac{169}{x} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( x(x + 5) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 108x + 7x(x + 5) = 169(x + 5) \]

Раскроем скобки: \[ 108x + 7x^2 + 35x = 169x + 845 \]

Соберем все члены в одну сторону: \[ 7x^2 + 108x + 35x - 169x - 845 = 0 \] \[ 7x^2 - 26x - 845 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 7, b = -26, c = -845 \).

Вычислим дискриминант: \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-845) = 676 + 23740 = 24416 \]

Теперь найдем корни: \[ x = \frac{26 \pm \sqrt{24416}}{14} \] \[ x = \frac{26 \pm 156.0}{14} \]

Таким образом, мы получаем два значения: \[ x_1 = \frac{182}{14} = 13, \quad x_2 = \frac{-130}{14} \quad \text{(не принимаем, так как скорость не может быть отрицательной)} \]

Следовательно, скорость второго рабочего равна \( x = 13 \). Теперь мы найдем скорость первого рабочего: \[ x + 5 = 13 + 5 = 18 \]

Ответ: Первый рабочий делает 18 деталей за час.