Для решения этой задачи давайте обозначим несколько переменных:
- Пусть скорость второго рабочего (количество деталей, которые он делает за час) равна ( x ).
- Тогда скорость первого рабочего будет ( x + 5 ) (так как он делает на 5 деталей больше за час).
Теперь мы можем вычислить время, которое потребуют оба рабочих для изготовления своих деталей:
Время, затраченное первым рабочим на изготовление 108 деталей:
[
T_1 = \frac{108}{x + 5}
]
Время, затраченное вторым рабочим на изготовление 169 деталей:
[
T_2 = \frac{169}{x}
]
Согласно условию задачи, первый рабочий тратит на 7 часов меньше, чем второй:
[
T_1 + 7 = T_2
]
Подставим выражения для ( T_1 ) и ( T_2 ):
[
\frac{108}{x + 5} + 7 = \frac{169}{x}
]
Умножим обе стороны уравнения на ( x(x + 5) ), чтобы избавиться от знаменателей:
[
108x + 7x(x + 5) = 169(x + 5)
]
Раскроем скобки:
[
108x + 7x^2 + 35x = 169x + 845
]
Соберем все члены в одну сторону:
[
7x^2 + 108x + 35x - 169x - 845 = 0
]
[
7x^2 - 26x - 845 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 7, b = -26, c = -845 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-845) = 676 + 23740 = 24416
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{26 \pm \sqrt{24416}}{14}
]
[
x = \frac{26 \pm 156.0}{14}
]
Таким образом, мы получаем два значения:
[
x_1 = \frac{182}{14} = 13, \quad x_2 = \frac{-130}{14} \quad \text{(не принимаем, так как скорость не может быть отрицательной)}
]
Следовательно, скорость второго рабочего равна ( x = 13 ). Теперь мы найдем скорость первого рабочего:
[
x + 5 = 13 + 5 = 18
]
Ответ: Первый рабочий делает 18 деталей за час.