В треугольнике ABC с известными углами A и B, а также длиной стороны BC (в данной задаче обозначенной как b = c = 31√2), нам нужно найти длину стороны AC (обозначим её как a).
Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой синусов, которая утверждает, что соотношение между сторонами и углами треугольника определяется следующим образом:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Сначала нам нужно найти угол C. Сумма углов треугольника равна 180°:
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°
]
Теперь у нас есть все необходимые углы: A = 45°, B = 30°, C = 105°. Также у нас есть длина стороны BC (b = c = 31√2). Воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти длину стороны AC (a):
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{a}{\sin 45°} = \frac{31\sqrt{2}}{\sin 30°}
]
Значения синусов:
(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 30° = \frac{1}{2}).
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{31\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}
]
Упростим правую сторону:
[
\frac{31\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 31\sqrt{2} \cdot 2 = 62\sqrt{2}
]
Теперь можно выразить a:
[
a = 62\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 62
]
Таким образом, длина стороны AC равна 62.