Чтобы найти тангенс угла ( a ), когда косинус угла ( a ) равен ( \cos a = -\frac{2}{3} ), нам нужно использовать основное тригонометрическое тождество:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
]
Для начала, мы знаем, что (\cos a = -\frac{2}{3}). Теперь нам нужно найти (\sin a). Используем тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим значение (\cos a):
[
\sin^2 a + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1
]
Считаем ((-2/3)^2):
[
\sin^2 a + \frac{4}{9} = 1
]
Теперь вычтем (\frac{4}{9}) из обеих сторон уравнения:
[
\sin^2 a = 1 - \frac{4}{9}
]
Переведем 1 в дробь с делителем 9:
[
\sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
]
Теперь найдём (\sin a) путём извлечения квадратного корня:
[
\sin a = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}
]
Теперь у нас есть значения для (\sin a) и (\cos a). Мы можем находить тангенс:
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\pm \sqrt{5}}{-2} = \mp \frac{\sqrt{5}}{2}
]
Таким образом, тангенс угла ( a ) равен ( -\frac{\sqrt{5}}{2} ) или ( \frac{\sqrt{5}}{2} ) в зависимости от значения (\sin a) (положительное или отрицательное). Выбор знака зависит от квадранта, в котором находится угол ( a ).