Дано: А(-10 ; - 5), B(-2; 6), C(0;9). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.

Давайте разберем все пункты по порядку.

а) Координаты вектора BC.

Чтобы найти координаты вектора \( \vec{BC} \), нужно вычесть координаты точки B из координат точки C.

Координаты точки B: \( B(-2; 6) \)
Координаты точки C: \( C(0; 9) \)

Формула для нахождения координат вектора:
\[ \vec{BC} = C - B \]

Расчеты:
\[ x_{BC} = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2 \]
\[ y_{BC} = 9 - 6 = 3 \]

Таким образом, координаты вектора \( \vec{BC} \): \( (2; 3) \).

б) Длина вектора AB.

Длину вектора \( \vec{AB} \) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Координаты точки A: \( A(-10; -5) \)
Координаты точки B: \( B(-2; 6) \)

Расчеты:
\[ AB = \sqrt{((-2) - (-10))^2 + (6 - (-5))^2} \]
\[ = \sqrt{(8)^2 + (11)^2} \]
\[ = \sqrt{64 + 121} \]
\[ = \sqrt{185} \approx 13.6 \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{AB} \) приблизительно равна 13.6.

в) Координаты середины отрезка AC.

Координаты середины отрезка определяются по формуле:
\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]

Координаты точки A: \( A(-10; -5) \)
Координаты точки C: \( C(0; 9) \)

Расчеты:
\[ M_x = \frac{-10 + 0}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
\[ M_y = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, координаты середины отрезка AC: \( (-5; 2) \).

г) Периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника равен сумме длины всех его сторон. Мы уже нашли длину \( AB \). Теперь найдем длины сторон \( AC \) и \( BC \).

1. Длина AC: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \]
   \[ = \sqrt{(0 - (-10))^2 + (9 - (-5))^2} \]
   \[ = \sqrt{(10)^2 + (14)^2} \]
   \[ = \sqrt{100 + 196} \]
   \[ = \sqrt{296} \approx 17.2 \]

2. Длина BC: Мы уже нашли длину вектора \( BC \):
   \[ BC = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.6 \]

Теперь сложим длины сторон:
\[ P = AB + AC + BC = \sqrt{185} + \sqrt{296} + \sqrt{13} \approx 13.6 + 17.2 + 3.6 \approx 34.4 \]

Периметр треугольника ABC приблизительно равен 34.4.

д) Длина медианы BM.

Длина медианы определяется следующим образом:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \]

Мы уже нашли длины \( AB \), \( BC \) и \( AC \):

• \( AB = \sqrt{185} \)
• \( BC = \sqrt{13} \)
• \( AC = \sqrt{296} \)

Подставим данные в формулу:
\[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2(\sqrt{185})^2 + 2(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{296})^2} \]
\[ = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 185 + 2 \cdot 13 - 296} \]
\[ = \frac{1}{2} \sqrt{370 + 26 - 296} \]
\[ = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{10}{2} = 5 \]

Таким образом, длина медианы \( BM \) равна 5.

Если потребуется дополнительная помощь или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!