Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 8
У нас есть окружность с центром в точке ( О ), касательная ( АВ ) и секущая ( АО ). Даны длины: ( АВ = 51 ) см и ( АО = 85 ) см. Нам нужно найти радиус окружности ( R ).
Известно, что для касательной и секущей из одной точки (в данном случае от точки ( A )) выполняется следующая формула:
[
AO^2 = AB^2 + R^2
]
Подставим известные значения в формулу:
[
85^2 = 51^2 + R^2
]
Теперь вычислим ( 85^2 ) и ( 51^2 ):
[
85^2 = 7225
]
[
51^2 = 2601
]
Теперь подставим их в уравнение:
[
7225 = 2601 + R^2
]
[
R^2 = 7225 - 2601
]
[
R^2 = 4624
]
Теперь найдем радиус ( R ):
[
R = \sqrt{4624} = 68 \text{ см}
]
Задача 9
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2. Нам нужно найти высоту этого треугольника.
Для равностороннего треугольника существует связь между радиусом вписанной окружности ( r ) и высотой ( h ):
[
h = \frac{r \cdot 3\sqrt{3}}{2}
]
Подставим ( r = 2 ):
[
h = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}
]
Таким образом, высота равностороннего треугольника равна ( 3\sqrt{3} ).
Задача 10
Через точку ( A ), находящуюся вне окружности, проведены две прямые. Одна касается окружности в точке ( K ), а вторая пересекает окружность в точках ( B ) и ( C ), причем ( AB = 3 ) и ( AC = 27 ). Нужно найти ( AK ).
Согласно свойству касательной и секущей:
[
AK^2 = AB \cdot AC
]
Подставим известные значения:
[
AK^2 = 3 \cdot 27 = 81
]
Теперь вычислим ( AK ):
[
AK = \sqrt{81} = 9
]
Таким образом, ( AK = 9 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!