Решите уравнение 1/(х-3)^2 - 6/х-3 -16=0

Для решения уравнения

\[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0 \]

давайте сначала упростим его. Обозначим \( y = x - 3 \). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ \frac{1}{y^2} - \frac{6}{y} - 16 = 0. \]

Теперь умножим всё уравнение на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \)):

\[ 1 - 6y - 16y^2 = 0. \]

Преобразуем уравнение:

\[ -16y^2 - 6y + 1 = 0. \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 16y^2 + 6y - 1 = 0. \]

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 16 \), \( b = 6 \), и \( c = -1 \).

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 36 + 64 = 100. \]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 16} = \frac{-6 \pm 10}{32}. \]

Это дает два решения:

1. \( y_1 = \frac{-6 + 10}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \),
2. \( y_2 = \frac{-6 - 10}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2} \).

Теперь возвращаемся к исходной переменной \( x \):

1. Для \( y_1 = \frac{1}{8} \): \[ x - 3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{8} + \frac{24}{8} = \frac{25}{8}. \]

2. Для \( y_2 = -\frac{1}{2} \): \[ x - 3 = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{5}{2}. \]

Таким образом, решения нашего уравнения:

\[ x_1 = \frac{25}{8}, \quad x_2 = \frac{5}{2}. \]