*Диаметр шара равен 6т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Для решения задачи сначала определим радиус сферы. Если диаметр шара равен 6 т, то радиус \( r \) равен:

\[ r = \frac{6}{2} = 3 \text{ т} \]

Плоскость, проведенная под углом 45° к диаметру шара, пересекает шар, и эта линия пересечения будет окружностью. Позиционируем сферу в трехмерном пространстве: центр сферы пусть будет в точке \( O(0, 0, 0) \).

Сначала найдем радиус окружности пересечения. Для этого используем формулы для радиуса окружности пересечения сферы с плоскостью. Если плоскость удалена от центра на расстояние \( h \), то радиус круговой линии пересечения \( r_c \) вычисляется по формуле:

\[ r_c = \sqrt{r^2 - h^2} \]

Где \( r \) – радиус сферы.

Чтобы найти \( h \), учитываем, что плоскость расположена под углом 45° к диаметру. При этом расстояние от центра до плоскости в данном случае равно:

\[ h = r \cdot \sin(45°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим значение \( h \) в формулу для нахождения радиуса окружности:

\[ r_c = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]

Вычислим:

\[ r_c = \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2}{4}} = \sqrt{9 - \frac{18}{4}} = \sqrt{9 - 4.5} = \sqrt{4.5} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Теперь, чтобы найти длину линии пересечения, нужно применить формулу длины окружности:

\[ L = 2 \pi r_c \]

Где \( r_c \) — радиус окружности пересечения.

Подставим значение \( r_c \):

\[ L = 2 \pi \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \pi \]

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью равна:

\[ L = 3\sqrt{2} \pi \]