Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 54. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Высота

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, в который вписан шар, сначала найдем радиус шара.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \[ S = 4\pi r^2 \] где \(S\) - площадь поверхности, а \(r\) - радиус шара.

Дана площадь поверхности шара \(S = 54\): \[ 4\pi r^2 = 54 \] Отсюда: \[ r^2 = \frac{54}{4\pi} = \frac{27}{2\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{27}{2\pi}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}. \]

Так как шар вписан в цилиндр, его высота \(h\) равна диаметру шара: \[ h = 2r = 2\left(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}\right) = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}. \]

Теперь найдем радиус основания цилиндра. Поскольку шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара: \[ R = r = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}. \]

Теперь можем найти площадь полной поверхности цилиндра по формуле: \[ S_{\text{цylinder}} = 2\pi R^2 + 2\pi R h, \] где \(2\pi R^2\) - площадь двух оснований, а \(2\pi R h\) - площадь боковой поверхности.

Подставим значения радиуса и высоты:

1. Найдем \(2\pi R^2\): \[ 2\pi R^2 = 2\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}\right)^2 = 2\pi \cdot \frac{27}{2\pi} = 27. \]

2. Найдем \(2\pi R h\): \[ 2\pi R h = 2\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}\right) \cdot \left(\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2\pi}}\right) = 2\pi \cdot \frac{18 \cdot 3}{2} = 54\pi. \]

Теперь подставим обе части в формулу для полной площади: \[ S_{\text{цylinder}} = 27 + 54\pi. \]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна \(27 + 54\pi\) квадратных единиц.