Приведена выборка результатов числа подтягиваний на перекладине выпускников начальной школы (мальчиков) : 4,5,4,7,5,3,6,5,6,6,4,3,7,4,6,5,5,8,5,6,6,6,7,5(кол-во раз). По выборочным данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану. Описать каждое полученное значение. Составить доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95.

Question 1

Задача Задача №2479855

А

Аноним

12 декабря 2024 09:13 · публичный вопрос

А

Аноним 12 декабря 2024 09:13

Приведена выборка результатов числа подтягиваний на перекладине выпускников начальной школы (мальчиков) : 4,5,4,7,5,3,6,5,6,6,4,3,7,4,6,5,5,8,5,6,6,6,7,5(кол-во раз). По выборочным данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану. Описать каждое полученное значение. Составить доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95.

Answer

Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов. Давайте последовательно рассмотрим каждый из них.

1. Составление безынтервального вариационного ряда

Сначала упорядочим данные и подсчитаем количество повторений каждого результата:

Результаты подтягиваний: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Частота:

3: 2 раза
4: 4 раза
5: 6 раз
6: 6 раз
7: 4 раза
8: 1 раз

Безынтервальный вариационный ряд:

Значение	Частота (f)
3	2
4	4
5	6
6	6
7	4
8	1

2. Построение полигона

Чтобы построить полигон, нужно отложить на графике частоты (y) против значений (x). Для этого можно использовать временные, количественные переменные:

Сначала находим кумулятивные частоты (CF):

CF для 3: 2
CF для 4: 6
CF для 5: 12
CF для 6: 18
CF для 7: 22
CF для 8: 23

Теперь можно построить полигон, соединяя точки (x, CF) на графике.

3. Вычисление выборочного среднего значения

Формула для выборочного среднего: \[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N} \] где \(N\) — общее количество наблюдений, \(x_i\) — значения, \(f_i\) — частота.

Подсчитаем сумму произведений: \[ (3 \cdot 2) + (4 \cdot 4) + (5 \cdot 6) + (6 \cdot 6) + (7 \cdot 4) + (8 \cdot 1) = 6 + 16 + 30 + 36 + 28 + 8 = 124 \] Общее количество наблюдений: \(N = 2 + 4 + 6 + 6 + 4 + 1 = 23\)

Теперь считаем среднее: \[ \bar{x} = \frac{124}{23} \approx 5.39 \]

4. Вычисление дисперсии

Формула для выборочной дисперсии: \[ S^2 = \frac{\sum (f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \]

Сначала находим каждое \( (x_i - \bar{x})^2 \):

Для \(3\): \((3 - 5.39)^2 \approx 5.76\)
Для \(4\): \((4 - 5.39)^2 \approx 1.95\)
Для \(5\): \((5 - 5.39)^2 \approx 0.15\)
Для \(6\): \((6 - 5.39)^2 \approx 0.37\)
Для \(7\): \((7 - 5.39)^2 \approx 2.65\)
Для \(8\): \((8 - 5.39)^2 \approx 6.68\)

Теперь умножим на частоты и сложим: \[ (2 \cdot 5.76) + (4 \cdot 1.95) + (6 \cdot 0.15) + (6 \cdot 0.37) + (4 \cdot 2.65) + (1 \cdot 6.68 = 11.52 + 7.80 + 0.90 + 2.22 + 10.60 + 6.68 = 39.72 \]

Теперь подставляем в формулу для дисперсии: \[ S^2 = \frac{39.72}{22} \approx 1.80 \]

5. Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии: \[ S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{1.80} \approx 1.34 \]

6. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к среднему, умноженное на 100: \[ CV = \frac{S}{\bar{x}} \cdot 100 \approx \frac{1.34}{5.39} \cdot 100 \approx 24.85\% \]

7. Статистическая ошибка выборочной средней

Формула для статистической ошибки: \[ SE = \frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{1.34}{\sqrt{23}} \approx 0.28 \]

8. Мода и медиана

Мода (Mo) — это значение, которое встречается наиболее часто: 5.
Медиана (Me) — это среднее значение выборки: так как количество наблюдений четное (23), медиа находится между 5 и 6 и будет равна 5.5.

9. Доверительный интервал для генеральной средней

Для 95% доверительного интервала используем формулу: \[ \bar{x} \pm t \cdot SE \] Где \(t\) — критическое значение из таблицы t для \(N-1 = 22\) и уровня значимости 0.025 (двухсторонний), примерно равно 2.074.

Расчитаем доверительный интервал: \[ 5.39 \pm 2.074 \cdot 0.28 \approx 5.39 \pm 0.58 \] Доверительный интервал: \[ (4.81, 5.97) \]

Описание полученных значений:

Выборочное среднее (5.39): показывает среднее количество подтягиваний.
Дисперсия (1.80): отражает разброс результатов вокруг среднего.
Среднее квадратическое отклонение (1.34): показывает среднюю ошибку результатов.
Коэффициент вариации (24.85%): выражает относительное разнообразие относительно среднего.
Статистическая ошибка (0.28): показывает надежность выборочного среднего.
Мода (5): наиболее часто встречающееся значение.
Медиана (5.5): среднее значение в упорядоченной выборке.
Доверительный интервал (4.81, 5.97): диапазон, в котором с вероятностью 95% находится генеральная средняя.

Если у вас есть другие вопросы или вам нужно уточнить какие-либо аспекты, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

Приведена выборка результатов числа подтягиваний на перекладине выпускников начальной школы (мальчиков) : 4,5,4,7,5,3,6,5,6,6,4,3,7,4,6,5,5,8,5,6,6,6,7,5(кол-во раз). По выборочным данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану. Описать каждое полученное значение. Составить доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95.

Answer

Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов. Давайте последовательно рассмотрим каждый из них. ### 1. Составление безынтервального вариационного ряда Сначала упорядочим данные и подсчитаем количество повторений каждого результата: Результаты подтягиваний: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Частота: - 3: 2 раза - 4: 4 раза - 5: 6 раз - 6: 6 раз - 7: 4 раза - 8: 1 раз **Безынтервальный вариационный ряд:** | Значение | Частота (f) | |----------|-------------| | 3 | 2 | | 4 | 4 | | 5 | 6 | | 6 | 6 | | 7 | 4 | | 8 | 1 | ### 2. Построение полигона Чтобы построить полигон, нужно отложить на графике частоты (y) против значений (x). Для этого можно использовать временные, количественные переменные: Сначала находим кумулятивные частоты (CF): - CF для 3: 2 - CF для 4: 6 - CF для 5: 12 - CF для 6: 18 - CF для 7: 22 - CF для 8: 23 Теперь можно построить полигон, соединяя точки (x, CF) на графике. ### 3. Вычисление выборочного среднего значения Формула для выборочного среднего: \[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N} \] где \(N\) — общее количество наблюдений, \(x_i\) — значения, \(f_i\) — частота. Подсчитаем сумму произведений: \[ (3 \cdot 2) + (4 \cdot 4) + (5 \cdot 6) + (6 \cdot 6) + (7 \cdot 4) + (8 \cdot 1) = 6 + 16 + 30 + 36 + 28 + 8 = 124 \] Общее количество наблюдений: \(N = 2 + 4 + 6 + 6 + 4 + 1 = 23\) Теперь считаем среднее: \[ \bar{x} = \frac{124}{23} \approx 5.39 \] ### 4. Вычисление дисперсии Формула для выборочной дисперсии: \[ S^2 = \frac{\sum (f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \] Сначала находим каждое \( (x_i - \bar{x})^2 \): - Для \(3\): \((3 - 5.39)^2 \approx 5.76\) - Для \(4\): \((4 - 5.39)^2 \approx 1.95\) - Для \(5\): \((5 - 5.39)^2 \approx 0.15\) - Для \(6\): \((6 - 5.39)^2 \approx 0.37\) - Для \(7\): \((7 - 5.39)^2 \approx 2.65\) - Для \(8\): \((8 - 5.39)^2 \approx 6.68\) Теперь умножим на частоты и сложим: \[ (2 \cdot 5.76) + (4 \cdot 1.95) + (6 \cdot 0.15) + (6 \cdot 0.37) + (4 \cdot 2.65) + (1 \cdot 6.68 = 11.52 + 7.80 + 0.90 + 2.22 + 10.60 + 6.68 = 39.72 \] Теперь подставляем в формулу для дисперсии: \[ S^2 = \frac{39.72}{22} \approx 1.80 \] ### 5. Среднее квадратическое отклонение Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии: \[ S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{1.80} \approx 1.34 \] ### 6. Коэффициент вариации Коэффициент вариации рассчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к среднему, умноженное на 100: \[ CV = \frac{S}{\bar{x}} \cdot 100 \approx \frac{1.34}{5.39} \cdot 100 \approx 24.85\% \] ### 7. Статистическая ошибка выборочной средней Формула для статистической ошибки: \[ SE = \frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{1.34}{\sqrt{23}} \approx 0.28 \] ### 8. Мода и медиана - **Мода (Mo)** — это значение, которое встречается наиболее часто: **5**. - **Медиана (Me)** — это среднее значение выборки: так как количество наблюдений четное (23), медиа находится между 5 и 6 и будет равна **5.5**. ### 9. Доверительный интервал для генеральной средней Для 95% доверительного интервала используем формулу: \[ \bar{x} \pm t \cdot SE \] Где \(t\) — критическое значение из таблицы t для \(N-1 = 22\) и уровня значимости 0.025 (двухсторонний), примерно равно 2.074. Расчитаем доверительный интервал: \[ 5.39 \pm 2.074 \cdot 0.28 \approx 5.39 \pm 0.58 \] Доверительный интервал: \[ (4.81, 5.97) \] ### Описание полученных значений: - **Выборочное среднее** (5.39): показывает среднее количество подтягиваний. - **Дисперсия** (1.80): отражает разброс результатов вокруг среднего. - **Среднее квадратическое отклонение** (1.34): показывает среднюю ошибку результатов. - **Коэффициент вариации** (24.85%): выражает относительное разнообразие относительно среднего. - **Статистическая ошибка** (0.28): показывает надежность выборочного среднего. - **Мода** (5): наиболее часто встречающееся значение. - **Медиана** (5.5): среднее значение в упорядоченной выборке. - **Доверительный интервал** (4.81, 5.97): диапазон, в котором с вероятностью 95% находится генеральная средняя. Если у вас есть другие вопросы или вам нужно уточнить какие-либо аспекты, не стесняйтесь спрашивать!