12. Точка С АВ и АС: АВ = 1 : 4. Найдите координаты точки С, если А (4; 12) и В (-8; 4).

Чтобы найти координаты точки C, которая делит отрезок AB в отношении 1:4, мы будем использовать формулу деления отрезка в заданном отношении.

Даны точки:

• A(4, 12)
• B(-8, 4)

Соотношение длины отрезка AB: \(k_1:k_2 = 1:4\), где \(k_1 = 1\) и \(k_2 = 4\). Всего частей: \(k_1 + k_2 = 1 + 4 = 5\).

Теперь мы можем использовать формулу координат точки, делящей отрезок в заданном отношении: \[ C(x, y) = \left( \frac{k_2 x_1 + k_1 x_2}{k_1 + k_2}, \frac{k_2 y_1 + k_1 y_2}{k_1 + k_2} \right) \] где:

• \( (x_1, y_1) = (4, 12) \) — координаты точки A,
• \( (x_2, y_2) = (-8, 4) \) — координаты точки B,
• \(k_1 = 1\),
• \(k_2 = 4\).

Теперь подставим значения:

Координата X: \[ x = \frac{4 \cdot 4 + 1 \cdot (-8)}{1 + 4} = \frac{16 - 8}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \]

Координата Y: \[ y = \frac{4 \cdot 12 + 1 \cdot 4}{1 + 4} = \frac{48 + 4}{5} = \frac{52}{5} = 10.4 \]

Таким образом, координаты точки C составляют \( C(1.6; 10.4) \).