Чтобы решить задачу о кинетической энергии пули на высоте h = 50 м, нам нужно использовать закон сохранения механической энергии.
- Определение максимальной потенциальной энергии
Когда пуля достигает высоты H = 100 м, её потенциальная энергия (Eₚ) равна:
[ Eₚ = m \cdot g \cdot H ]
где:
- m — масса пули,
- g — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²),
- H — максимальная высота, на которую поднимается пуля (100 м).
- Кинетическая энергия на высоте 50 м
На высоте h = 50 м потенциальная энергия пули будет:
[ Eₚ(h) = m \cdot g \cdot h ]
На высоте 50 м пуля будет иметь как потенциальную, так и кинетическую энергию. По закону сохранения энергии, полная энергия в начале, когда пуля покинула пистолет, равна сумме её потенциальной и кинетической энергий на высоте 50 м:
[ E_{\text{полная}} = E_k + Eₚ(h) ]
где E_k — кинетическая энергия пули на высоте 50 м.
Используя полное уравнение:
[ m \cdot g \cdot H = E_k + m \cdot g \cdot h ]
Перегруппируем уравнение, чтобы найти E_k:
[ E_k = m \cdot g \cdot H - m \cdot g \cdot h ]
Факторизуем m · g:
[ E_k = m \cdot g \cdot (H - h) = m \cdot g \cdot (100 , \text{м} - 50 , \text{м}) ]
[ E_k = m \cdot g \cdot 50 , \text{м} ]
- Определение массы пули
Теперь, чтобы найти массу пули (m), можно использовать информацию о начальной энергии, связанной с сжимаемой пружиной:
Начальная потенциальная энергия в пружине:
[ E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2} k \Delta l^2 ]
где k = 1600 Н/м и (\Delta l = 5) м.
Подставим данные:
[ E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2} \cdot 1600 \cdot (5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1600 \cdot 25 = 20000 , \text{Дж} ]
Теперь эта энергия равна потенциальной энергии пули на максимальной высоте:
[ E_{\text{пружины}} = m \cdot g \cdot H ]
Отсюда находим массу пули:
[ 20000 = m \cdot 9.81 \cdot 100 ]
[ m = \frac{20000}{981} \approx 20.39 , \text{кг} ]
- Подставление в формулу кинетической энергии
Теперь подставим массу обратно в уравнение для E_k:
[ E_k = 20.39 \cdot 9.81 \cdot 50 ]
Посчитаем:
[ E_k \approx 20.39 \cdot 9.81 \cdot 50 \approx 10019.5 , \text{Дж} ]
Таким образом, кинетическая энергия пули на высоте 50 м составляет примерно 10019.5 Дж.