Почему бирюк отпустил мужика

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно уточнить, о каком произведении или контексте идет речь. Если вы имеете в виду рассказ «Бирюк» Романа Михаиловича Салтыкова-Щедрина, то можно сказать, что бирюк (лесник) отпустил мужика, потому что у него возникло к нему сочувствие, он увидел в нём человеческое начало и, возможно, вспомнил о собственных страданиях и переживаниях.

Если вы имеете в виду другое произведение, пожалуйста, уточните, чтобы я мог дать более точный ответ.