23. В треугольнике АВС угол С равен 90°, К — середина стороны АВ, AB = 32, ВС = 19 (см. рис. 185). Найдите СК.
В треугольнике ABC с углом C равным 90°, мы можем воспользоваться координатами для решения задачи. Положим C в начале координат (0, 0), A на оси X (x_A, 0) и B на оси Y (0, y_B).
Как известно, AB = 32 см и BC = 19 см.
Для нахождения координат A и B:
Найдем координаты точки A. Пусть A = (x_A, 0), тогда длина AB будет равна:
\[ AB = \sqrt{(x_A - 0)^2 + (0 - y_B)^2} = 32 \]
Так как BC = 19 см, его длина будет равна:
\[ BC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y_B - 0)^2} = y_B = 19 \]
Отсюда мы получили координаты точки B: B = (0, 19).
Теперь подставим значение y_B в уравнение длины AB:
\[ 32 = \sqrt{x_A^2 + 19^2} \]
Возводим в квадрат обе стороны:
\[ 1024 = x_A^2 + 361 \]
Решим это уравнение:
\[ x_A^2 = 1024 - 361 = 663 \]
\[ x_A = \sqrt{663} \approx 25.77 \]
Теперь мы знаем координаты:
- A = (25.77, 0)
- B = (0, 19)
- C = (0, 0)
Координаты середины отрезка AB (K):
\[ K = \left(\frac{x_A + 0}{2}, \frac{0 + y_B}{2}\right) = \left(\frac{25.77}{2}, \frac{19}{2}\right) = (12.885, 9.5) \]
Теперь нам нужно найти длину отрезка CK:
\[ CK = \sqrt{(12.885 - 0)^2 + (9.5 - 0)^2} = \sqrt{12.885^2 + 9.5^2} \]
Посчитаем:
\[ CK = \sqrt{165.12 + 90.25} = \sqrt{255.37} \approx 15.99 \text{ см} \]
Таким образом, длина отрезка SK примерно равна 16 см.
