Напиши уравнение касательной графику функции f(x)=x2+4x+9 в точке с абсциссой x0=2
Для нахождения уравнения касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно выполнить несколько шагов: определить значение функции в точке, найти производную функции и вычислить значение производной в этой точке, а затем воспользоваться уравнением касательной.
Вычислим значение функции в точке \( x_0 = 2 \): \[ f(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 + 9 = 4 + 8 + 9 = 21 \]
Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x + 4 \]
Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \[ f'(2) = 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 = 8 \]
Теперь у нас есть точка \( (2, 21) \) и угол наклона (значение производной) 8. Уравнение касательной можно записать в виде: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( m \) — угловой коэффициент (производная), \( (x_0, y_0) \) — точка, в которой мы находим касательную.
Подставляем значения: \[ y - 21 = 8(x - 2) \]
Упростим уравнение: \[ y - 21 = 8x - 16 \] \[ y = 8x + 5 \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^2 + 4x + 9 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \) будет: \[ y = 8x + 5. \]
