Прочитайте задачу: «Из города А в город В, расстоя-ние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста, поэтому первый прибыл в город В на 2 ч раньше второго. Определите скорости велосипедистов».
Давайте обозначим скорость второго велосипедиста как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет \( v + 3 \) км/ч.
Исходя из условия задачи, расстояние между городами составляет 120 км. Время, которое затрачивает первый велосипедист на путь в город В, можно выразить как:
\[ t_1 = \frac{120}{v + 3} \]
Для второго велосипедиста:
\[ t_2 = \frac{120}{v} \]
Согласно условию задачи, первый велосипедист прибыл на 2 часа раньше второго, поэтому можно записать уравнение:
\[ t_2 - t_1 = 2 \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 3} = 2 \]
Теперь упростим это уравнение. Умножим обе стороны на \( v(v + 3) \) (чтобы избавиться от дробей):
\[ 120(v + 3) - 120v = 2v(v + 3) \]
Раскроем скобки:
\[ 120v + 360 - 120v = 2v^2 + 6v \]
Упростим уравнение:
\[ 360 = 2v^2 + 6v \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ 2v^2 + 6v - 360 = 0 \]
Упростим это уравнение, разделив все члены на 2:
\[ v^2 + 3v - 180 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 \]
Решение уравнения:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 27}{2} \]
Находим два значения для \( v \):
- \( v_1 = \frac{24}{2} = 12 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-30}{2} = -15 \) (это значение нам не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость второго велосипедиста \( v = 12 \) км/ч.
Скорость первого велосипедиста:
\[ v + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ км/ч} \]
Итак, скорости велосипедистов:
- Скорость второго велосипедиста: 12 км/ч
- Скорость первого велосипедиста: 15 км/ч
