Использую формулы и правила дифференцирования найдите производные слудующих функций

Привет! Давай вместе разберёмся, как найти производные данных функций.

1. \( y = 2x^{10} \)

   Производная степени: умножаем коэффициент на показатель степени и уменьшаем степень на 1.

   \( y' = 2 \cdot 10x^{9} = 20x^{9} \)

2. \( y = 4\sqrt{x} \)

   Переписываем корень как степень: \( y = 4x^{1/2} \).

   Производная: \( y' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2} \).

   \( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} \)

3. \( y = 7x + 4 \)

   Эта функция линейная. Производная: коэффициент при \( x \).

   \( y' = 7 \)

4. \( y = \text{tg}x + \frac{5}{x} \)

   Производные: \(\text{tg}x\) у нас имеет производную \(\sec^2x\), а \(\frac{5}{x}\) как \(-\frac{5}{x^2}\).

   \( y' = \sec^2x - \frac{5}{x^2} \)

5. \( y = x^3 \cdot \sin x \)

   Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).

   \( u = x^3 \), \( v = \sin x \)

   \( u' = 3x^2 \), \( v' = \cos x \)

   \( y' = 3x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x \)

6. \( y = \frac{x^2}{3 - 4x} \)

   Используем правило дроби: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

   \( u = x^2 \), \( v = 3 - 4x \)

   \( u' = 2x \), \( v' = -4 \)

   \( y' = \frac{2x(3 - 4x) - x^2(-4)}{(3 - 4x)^2} \)

   Упрощаем числитель:

   \( y' = \frac{6x - 8x^2 + 4x^2}{(3 - 4x)^2} \)

   \( y' = \frac{6x - 4x^2}{(3 - 4x)^2} \)

Вот и всё! Если есть вопросы, спрашивай.