Задание 8. Расстояние между двумя городами пароход проходит по течению реки за 8 ч, а против течения — за 10 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот?
Для решения задачи обозначим следующие переменные:
- \(d\) — расстояние между двумя городами,
- \(v_p\) — скорость парохода в стоячей воде,
- \(v_t\) — скорость течения реки.
Зная, что пароход проходит расстояние \(d\) по течению реки за 8 часов и против течения — за 10 часов, можем записать два уравнения для времени, которое он тратит на путь:
По течению: \[ d = (v_p + v_t) \cdot 8 \]
Против течения: \[ d = (v_p - v_t) \cdot 10 \]
Теперь мы можем приравнять выражения для \(d\): \[ (v_p + v_t) \cdot 8 = (v_p - v_t) \cdot 10 \]
Раскроем скобки: \[ 8v_p + 8v_t = 10v_p - 10v_t \]
Переносим все члены на одну сторону: \[ 8v_t + 10v_t = 10v_p - 8v_p \]
Упрощаем: \[ 18v_t = 2v_p \]
Отсюда: \[ v_p = 9v_t \]
Теперь подставим \(v_p\) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \(d\). Используем первое уравнение: \[ d = (9v_t + v_t) \cdot 8 = 10v_t \cdot 8 = 80v_t \]
Теперь, чтобы рассчитать, за сколько времени плот проплывёт это расстояние, нужно учитывать, что плот идёт со скоростью течения \(v_t\): \[ t_{\text{плот}} = \frac{d}{v_t} = \frac{80v_t}{v_t} = 80 \text{ часов} \]
Ответ: 80 часов.
