Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 дм квадратного

Чтобы решить задачу, давайте обозначим величины, которые известны из условий.

Пусть:

• \( h \) — высота трапеции,
• \( a \) — меньшее основание трапеции,
• \( b \) — большее основание трапеции.

По условию высота трапеции равна меньшему основанию, то есть: \[ h = a. \]

Также высота в два раза меньше большего основания: \[ h = \frac{b}{2}. \]

С учетом первой формулы, можем переписать вторую: \[ a = \frac{b}{2}, \] или \[ b = 2a. \]

Теперь у нас есть выражение для больших и меньших оснований через \( a \). Следующим шагом мы можем воспользоваться формулой для площади трапеции, которая имеет вид: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}. \]

Зная, что площадь \( S = 54 \) дм², подставим все известные величины: \[ 54 = \frac{(a + 2a) \cdot a}{2}. \]

Упростим уравнение: \[ 54 = \frac{3a^2}{2}. \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления: \[ 108 = 3a^2. \]

Теперь разделим обе стороны на 3: \[ 36 = a^2. \]

Извлекаем квадратный корень: \[ a = 6 \, \text{дм}. \]

Теперь, зная, что \( h = a \), можем найти высоту трапеции: \[ h = 6 \, \text{дм}. \]

Таким образом, высота трапеции равна 6 дм.