докажите что: 1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратно 3; 2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7; 3) сумма четырёх последовательных…

Давайте последовательно разберём каждое из утверждений.

1. Сумма трёх последовательных натуральных чисел кратно 3.

Обозначим три последовательных натуральных числа как \( n, n+1, n+2 \). Тогда их сумма равна: \[ S = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1). \] Ясно, что сумма \( S \) является произведением 3 и целого числа \( (n + 1) \), следовательно, она кратна 3.

2. Сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

Обозначим семь последовательных натуральных чисел как \( n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6 \). Тогда их сумма: \[ S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) = 7n + 21 = 7(n + 3). \] Явно видно, что сумма делится на 7.

3. Сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Обозначим четыре последовательных чётных числа как \( 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6 \). Тогда их сумма: \[ S = 2n + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) = 8n + 12 = 4(2n + 3). \] Сумма \( S \) делится на 4, так как это произведение 4 на целое число \( (2n + 3) \).

4. Сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Обозначим пять последовательных чётных чисел как \( 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6, 2n+8 \). Тогда их сумма: \[ S = 2n + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) + (2n+8) = 10n + 20 = 10(n + 2). \] Таким образом, сумма \( S \) делится на 10.

Каждое из этих утверждений подтверждено, и вы можете использовать эти обоснования для дальнейшего изучения темы. Если у вас будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!