Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти, зная основание и высоту. Площадь \( S \) параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ S = a \cdot h, \]

где \( a \) — основание, а \( h \) — высота, соответствующая этому основанию.

У нас есть две высоты: \( h_1 = 5 \) см и \( h_2 = 4 \) см. Периметр параллелограмма равен 42 см, что соответствует формуле:

\[ P = 2(a + b), \]

где \( a \) и \( b \) — это стороны параллелограмма. Таким образом,

\[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}. \]

При этом для вычисления площади мы можем использовать обе высоты. Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \).

Площадь также можно выразить через другую сторону и соответствующую ей высоту:

\[ S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2. \]

Таким образом, мы можем записать:

\[ a \cdot 5 = b \cdot 4. \]

Сначала выразим \( b \) через \( a \):

\[ b = \frac{5}{4} a. \]

Подставим это выражение в уравнение для периметра:

\[ a + \frac{5}{4} a = 21. \]

Объединим подобные:

\[ \frac{9}{4} a = 21. \]

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{4}{9}\):

\[ a = 21 \cdot \frac{4}{9} = \frac{84}{9} = \frac{28}{3} \text{ см}. \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = \frac{5}{4} \cdot \frac{28}{3} = \frac{5 \cdot 28}{4 \cdot 3} = \frac{140}{12} = \frac{35}{3} \text{ см}. \]

Теперь можем найти площадь, используя одно из оснований и соответствующую высоту. Используем \( a \) и \( h_1 \):

\[ S = a \cdot h_1 = \frac{28}{3} \cdot 5 = \frac{140}{3} \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь параллелограмма составляет \(\frac{140}{3} \approx 46.67\) см².