Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их длины относятся как 6: 4, а площадь треугольника равна 48.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). Согласно условию, они относятся как 6:4, что можно записать в виде:

\[ a = 6k \quad \text{и} \quad b = 4k \]

где \( k \) – это множитель пропорции.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим выражения для \( a \) и \( b \):

\[ S = \frac{1}{2} \times (6k) \times (4k) = \frac{1}{2} \times 24k^2 = 12k^2 \]

По условию задачи, площадь равна 48. Составим уравнение:

\[ 12k^2 = 48 \]

Теперь решим его для \( k^2 \):

\[ k^2 = \frac{48}{12} = 4 \]

Следовательно,

\[ k = \sqrt{4} = 2 \]

Теперь можем найти длины катетов:

1. \( a = 6k = 6 \times 2 = 12 \)
2. \( b = 4k = 4 \times 2 = 8 \)

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 12 и 8.