Вычислите пределы: lim x -> ∞ (1 + 4/x) ^ x

Для вычисления предела

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^x, \]

мы можем использовать важный предел, известный в математическом анализе. Он гласит, что при больших значениях \( x \) выражение \( \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n \) приближается к \( e^a \) при \( n \) стремящемся к бесконечности.

В нашем случае \( a = 4 \), и \( n = x \). Таким образом, мы можем переформулировать предел следующим образом:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^x = e^4. \]

Итак, предел равен \( e^4 \).

Это значит, что когда \( x \) стремится к бесконечности, значение данного выражения будет стремиться к \( e^4 \), что составляет примерно \( 54.6 \), если округлить до десятичных. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то другой аспект, не стесняйтесь спрашивать!