При каком отрицательном значении параметра k система {2x+ky=5, kx+2y=6 не имеет решений
Чтобы определить, при каком отрицательном значении параметра \( k \) система уравнений
\[ \begin{cases} 2x + ky = 5 \\ kx + 2y = 6 \end{cases} \]
не имеет решений, нужно выяснить условие, при котором два уравнения становятся параллельными.
Два линейных уравнения не имеют решений, если их коэффициенты при \( x \) и \( y \) пропорциональны, но свободные члены не пропорциональны. То есть, для системы
\[ \begin{cases} A_1 x + B_1 y = C_1 \\ A_2 x + B_2 y = C_2 \end{cases} \]
это означает, что выполняется следующее условие:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \quad \text{и} \quad \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \]
Для вашей системы:
- \( A_1 = 2 \), \( B_1 = k \), \( C_1 = 5 \)
- \( A_2 = k \), \( B_2 = 2 \), \( C_2 = 6 \)
Подставляем в условие пропорциональности:
\[ \frac{2}{k} = \frac{k}{2} \]
Решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( 2k \) (при \( k \neq 0 \)):
\[ 4 = k^2 \]
Таким образом, \( k = 2 \) или \( k = -2 \). Поскольку мы ищем отрицательное значение, это значение \( k = -2 \).
Теперь нужно проверить, выполняется ли второе условие:
Подставляем \( k = -2 \):
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-2} = -1 \] \[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{6} \]
Так как \( -1 \neq \frac{5}{6} \), можно заключить, что при \( k = -2 \) система не имеет решений.
Итак, отрицательное значение параметра \( k \), при котором система не имеет решений, равно \( k = -2 \).
