какой угод между векторами AB{6;4;2} и CD{-5;7;1}
Чтобы найти угол между двумя векторами, воспользуемся формулой, основанной на скалярном произведении векторов. Угловая формула между двумя векторами A и B выглядит следующим образом:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{||\mathbf{A}|| ||\mathbf{B}||}} \]
где:
- \(\theta\) — угол между векторами,
- \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) — скалярное произведение векторов,
- \(||\mathbf{A}||\) и \(||\mathbf{B}||\) — длины (модули) соответствующих векторов.
- Сначала найдем скалярное произведение векторов AB и CD.
Вектора: \[ \mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{CD} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Скалярное произведение: \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD} = 6 \cdot (-5) + 4 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = -30 + 28 + 2 = 0 \]
- Теперь найдем длины (модули) векторов.
Длина вектора AB: \[ ||\mathbf{AB}|| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \]
Длина вектора CD: \[ ||\mathbf{CD}|| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
- Теперь подставим найденные значения в формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{0}{{2\sqrt{14} \cdot 5\sqrt{3}}} = 0 \]
Это означает, что угол \(\theta\) равен 90 градусам, так как косинус 90 градусов равен 0. Таким образом, векторы AB и CD перпендикулярны друг другу.
