1. Даны точки А (-8; -2), В (-4; 6). Точка С - середина отрезка АВ. Найдите координаты вектора АС. 2. Даны векторы а{12; - 24}, b = 3i - j, с= 1/6а+3b Найдите длину вектора с.…
1. Даны точки А (-8; -2), В (-4; 6). Точка С - середина отрезка АВ. Найдите координаты вектора АС. 2. Даны векторы а{12; - 24}, b = 3i - j, с= 1/6а+3b Найдите длину вектора с. 3.3. Окружность задана уравнением (x +4)²(y - 6)² = 81. 1)укажите координаты центра и радиус окружности; 2)укажите уравнение прямой, проходящей через центр данной окружности, параллельно оси ординат; 3)принадлежит ли точка А (-2; 7) данной окружности? 4. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD равны, СН - высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия КМ трапеции равна 12, а меньшее основание ВС равно 4.
- Для нахождения координат точки С, середины отрезка AB, используем формулу нахождения средней точки:
\[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
Подставляем координаты точек A и B:
\[ C\left(\frac{-8 + (-4)}{2}; \frac{-2 + 6}{2}\right) = C\left(\frac{-12}{2}; \frac{4}{2}\right) = C(-6; 2) \]
Теперь находим вектор AC. Он вычисляется как разность координат точки C и точки A:
\[ \vec{AC} = C - A = (-6 - (-8); 2 - (-2)) = (2; 4) \]
Таким образом, координаты вектора AC равны (2; 4).
- Для нахождения длины вектора c, сначала найдём его координаты.
Вектор a задан как \( a = \begin{pmatrix} 12 \\ -24 \end{pmatrix} \), и вектор b задан как \( b = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \).
Теперь найдем вектор c:
\[ c = \frac{1}{6}a + 3b = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 12 \\ -24 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Сначала рассчитываем \(\frac{1}{6}a\):
\[ \frac{1}{6}a = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} \]
Теперь умножим вектор b на 3:
\[ 3b = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \end{pmatrix} \]
Теперь сложим результаты:
\[ c = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 9 \\ -4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \end{pmatrix} \]
Длина вектора c вычисляется по формуле:
\[ |c| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{11^2 + (-7)^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} \]
Таким образом, длина вектора c равна \(\sqrt{170}\).
- Окружность задана уравнением:
\[ (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 81 \]
Координаты центра окружности (C) определяются как \((-4; 6)\), а радиус (R) равен \(\sqrt{81} = 9\).
Уравнение прямой, проходящей через центр данной окружности и параллельной оси ординат (x = постоянное число), будет:
\[ x = -4 \]
- Теперь проверим, принадлежит ли точка A (-2; 7) данной окружности. Подставим координаты точки A в стандартное уравнение окружности:
\[ (-2 + 4)^2 + (7 - 6)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \]
Поскольку 5 не равно 81, то точка A не принадлежит окружности.
- В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, и проведена высота CH к большему основанию AD. Средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее основание BC равно 4.
Длина средней линии KМ трапеции вычисляется по формуле:
\[ KM = \frac{AD + BC}{2} \]
Подставляя известные значения:
\[ 12 = \frac{AD + 4}{2} \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 24 = AD + 4 \]
Теперь найдем длину AD:
\[ AD = 24 - 4 = 20 \]
Далее, для нахождения длины отрезка HD, используем известные длины оснований и свойства трапеции.
Поскольку AB и CD равны, обозначим их за \(x\).
Используем формулу для высоты h трапеции:
\[ h = KM \cdot \frac{AD - BC}{AB + CD} \Rightarrow Х=12 * \frac{20 - 4}{2x} \]
Упрощаем:
\[ h = 12 \cdot \frac{16}{2x} = \frac{96}{x} \]
Так как стороны равны AB = CD = x, то HD = (AD - BC)/2 = 20 - 4)/(2) = 8.
Итак, длина отрезка HD равна 8.
