радиус окружности, вписанный в правильный треугольник равен √3:3 , найдите его сторону

Для нахождения стороны правильного треугольника, в который вписан круг с радиусом \( r \), можно использовать формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.

Для правильного треугольника со стороной \( a \):

• Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
• Полупериметр \( p \) равен: \[ p = \frac{3a}{2} \]

Теперь подставим значение радиуса \( r = \frac{\sqrt{3}}{3} \) в формулу:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{S}{p} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} \]

Упрощая правую часть уравнения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 a^2}{4 \cdot 3a} = \frac{\sqrt{3} a}{6} \]

Теперь уберем \(\sqrt{3}\) из обеих сторон уравнения, домножив на 6:

\[ 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = a \]

Упрощая, получаем:

\[ 2\sqrt{3} = a \]

Таким образом, сторона правильного треугольника равна \( 2\sqrt{3} \).