На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определим координаты точек: Пусть у нас прямоугольник ABCD со следующими координатами:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)

   Теперь найдем координаты середины сторон:

   • K (середина AB) = \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
   • L (середина BC) = \( \left( a, \frac{b}{2} \right) \)
   • M (середина CD) = \( \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
   • N (середина DA) = \( \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)

2. Найдем площадь треугольника LMN: Координаты точек L, M, и N:

   • L = \( (a, \frac{b}{2}) \)
   • M = \( (\frac{a}{2}, b) \)
   • N = \( (0, \frac{b}{2}) \)

   Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Подставим координаты: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a \left(\frac{b}{2} - b \right) + \frac{a}{2} \left(b - \frac{b}{2}\right) + 0 \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| a \left(-\frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2} \left(\frac{b}{2}\right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{2} + \frac{ab}{4} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{2ab}{4} + \frac{ab}{4} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} \right| = \frac{ab}{8} \]

3. Найдем площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника можно найти по формуле \( S_{ABCD} = a \cdot b \).

4. Находим вероятность принадлежности точки треугольнику LMN: Вероятность равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, равна \( \frac{1}{8} \).