На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с расположением всех точек и основными свойствами треугольника LMN.

1. Расположение точек: Пусть прямоугольник ABCD имеет координаты:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)

   Тогда середины сторон будут располагаться следующим образом:

   • K — середина AB: K(a/2, 0)
   • L — середина BC: L(a, b/2)
   • M — середина CD: M(a/2, b)
   • N — середина DA: N(0, b/2)

2. Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

3. Площадь треугольника LMN: Теперь найдем площадь треугольника LMN. Для нахождения площади треугольника со вершинами в координатах (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) можно использовать формулу: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

   Подставим координаты L(a, b/2), M(a/2, b), N(0, b/2): \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a(b/2 - b/2) + \frac{a}{2}(b/2 - b) + 0(b - b/2) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| a(0) + \frac{a}{2}(-b/2) + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} \right| = \frac{ab}{8} \]

4. Вероятность попадания в треугольник LMN: Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике окажется внутри треугольника LMN. Вероятность вычисляется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD принадлежит треугольнику LMN, равна \(\frac{1}{8}\).