На какую высоту над землёй должен подняться пассажирский самолёт, чтобы его фюзеляж длиной 75 м и шириной 7 м не отбрасывал на землю чёткой тени? Диаметр Солнца 1,4 млн км, а…
На какую высоту над землёй должен подняться пассажирский самолёт, чтобы его фюзеляж длиной 75 м и шириной 7 м не отбрасывал на землю чёткой тени? Диаметр Солнца 1,4 млн км, а расстояние от Земли до Солнца 150 млн км?
Чтобы определить, на какую высоту должен подняться пассажирский самолёт, чтобы его фюзеляж не отбрасывал четкую тень на землю, необходимо рассмотреть геометрию световых лучей от Солнца.
Сначала уясним, что свет от Солнца распространяется в виде лучей, и поскольку Солнце находится очень далеко от Земли, эти лучи можно считать параллельными.
Определим угол, под которым свет от Солнца падает на самолёт. Если диаметр Солнца составляет 1,4 млн км, а расстояние от Земли до Солнца — 150 млн км, можно найти угол, под которым свет от Солнца попадает на самолёт.
Угол α, под которым лучи от Солнца светят на Землю:
\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{0.7 \text{ км}}{150 \text{ млн км}} \]
где 0.7 км — это радиус Солнца (половина от 1,4 млн км).
Находим высоту h, на которую должен подняться самолёт, чтобы его фюзеляж не отбрасывал тени. Тень будет отсутствовать, когда расхождение лучей света (из-за размеров самолёта) будет равно высоте самолёта.
Длина фюзеляжа составляет 75 м (или 0,075 км), и его ширина — 7 м (или 0,007 км).
Чтобы не было тени, нужно, чтобы светил круглым образом. Таким образом, высота h должна быть такой, чтобы угол расхождения света был больше, чем размеры самолета.
Это можно оценить следующим образом: \[ h \approx \frac{0.075 \text{ км}}{\tan(\alpha)} \]
Оценка высоты h. В связи с тем, что угол α маленький, можно использовать приближеннее: \(\tan(\alpha) \approx \alpha\).
Подход будет следующим: \[ h \geq \text{ширина фюзеляжа} / \text{расстояние между лучами} \]
Рассчитаем геометрически и логически. Грубо приблизив, мы можем принять, что самолёт должен находиться на высоте, равной хотя бы ширине фюзеляжа в градусах, или можно применить допустимые вычисления на основе приведённых решений.
Так что подходящая высота h будет составлять порядка нескольких километров над уровнем, точно укажите, что оптимальная высота будет выше, чем 7 км, чтобы избежать чёткой тени по всем законам оптики.
Итак, можно сказать, что для отсутствия четкой тени самолет должен подняться на высоту более 7 км.
