Прямоугольник вписан в область, ограниченную параболой и осью оХ. Две вершины прямоугольника лежат на параболе, а две другие - на оси оХ. Найдите наибольший из периметров, который…

Чтобы найти наибольший периметр прямоугольника, вписанного в область, ограниченную параболой и осью OX, начнем с уравнения параболы:

\[ y = -x^2 + 14x - 46. \]

Сначала найдем вершину параболы, чтобы определить ее максимальное значение. Коэффициенты в уравнении параболы в стандартной форме выглядят так:

\[ a = -1, \quad b = 14, \quad c = -46. \]

Вершина параболы \( x_v \) находится по формуле:

\[ x_v = -\frac{b}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ x_v = -\frac{14}{2 \cdot (-1)} = 7. \]

Теперь подставим \( x = 7 \) обратно в уравнение параболы, чтобы найти значение \( y \):

\[ y_v = -7^2 + 14 \cdot 7 - 46 = -49 + 98 - 46 = 3. \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (7, 3) \).

Теперь, если мы обозначим координаты вершин прямоугольника, которые лежат на оси OX как \( (-a, 0) \) и \( (a, 0) \), а на параболе как \( (-a, y) \) и \( (a, y) \), то значение \( y \) для этих координат будет равно:

\[ y = -a^2 + 14a - 46. \]

Периметр \( P \) прямоугольника можно выразить следующим образом:

\[ P = 2 \cdot (ширина + высота) = 2 \cdot (2a + y) = 2 \cdot (2a + (-a^2 + 14a - 46)). \]

Упрощая, получаем:

\[ P = 2 \cdot (2a - a^2 + 14a - 46) = 2 \cdot (-a^2 + 16a - 46). \]

Теперь найдем максимум этой функции:

\[ P = -2a^2 + 32a - 92. \]

Максимум квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) достигается в точке:

\[ a_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot (-2)} = 8. \]

Подставив \( a = 8 \) в уравнение для периметра, находим:

\[ P = -2(8^2) + 32(8) - 92 = -2(64) + 256 - 92 = -128 + 256 - 92 = 36. \]

Таким образом, наибольший периметр, который может иметь такой прямоугольник, равен:

\[ P = 36. \]

Это и будет искомый ответ.