Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x^3+3x^2-9x-2 на отрезке [-6;8]
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2 \) на отрезке \([-6; 8]\) нам нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Это позволит нам определить критические точки, в которых могут находиться экстремумы.
\[ y' = 3x^2 + 6x - 9 \]
Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]
Разделим уравнение на 3:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
Таким образом, критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -3 \).
Исследовать значения функции в критических точках и на границах отрезка \([-6; 8]\).
Вычислим значение функции в критических точках и на границах отрезка:
\( x = -6 \): \[ y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 9(-6) - 2 = -216 + 108 + 54 - 2 = -56 \]
\( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 2 = -27 + 27 + 27 - 2 = 25 \]
\( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 2 = 1 + 3 - 9 - 2 = -7 \]
\( x = 8 \): \[ y(8) = 8^3 + 3(8)^2 - 9(8) - 2 = 512 + 192 - 72 - 2 = 630 \]
Сравнить полученные значения:
- \( y(-6) = -56 \)
- \( y(-3) = 25 \)
- \( y(1) = -7 \)
- \( y(8) = 630 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([-6; 8]\) равно \(-56\) при \( x = -6\), а наибольшее значение равно \(630\) при \( x = 8\).
Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции:
- Наименьшее значение: \( -56 \) при \( x = -6 \).
- Наибольшее значение: \( 630 \) при \( x = 8 \).
