2. Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если AM…

Чтобы решить задачу, давайте используем теорему о секущих. Напомним, что для двух пересекаемых хорд (в данном случае лучей), выполняется следующее соотношение:

\[ AB \cdot AC = AM \cdot AK \]

Дано:

• \( AB = 7 \)
• \( AC = 8 \)
• \( AM : MK = 2 : 5 \)

Обозначим:

• Длину отрезка \( AM = 2x \)
• Длину отрезка \( MK = 5x \)

Тогда:

\[ AK = AM + MK = 2x + 5x = 7x \]

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ AB \cdot AC = AM \cdot AK \]

Подставляем \( AB \), \( AC \), \( AM \) и \( AK \):

\[ 7 \cdot 8 = (2x) \cdot (7x) \]

Вычисляем:

\[ 56 = 14x^2 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ x^2 = \frac{56}{14} = 4 \]

Следовательно:

\[ x = 2 \]

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти длины отрезков \( AM \) и \( AK \):

1. \( AM = 2x = 2 \cdot 2 = 4 \)
2. \( MK = 5x = 5 \cdot 2 = 10 \)
3. \( AK = AM + MK = 4 + 10 = 14 \)

Таким образом, мы получили:

• Длина отрезка \( AM = 4 \)
• Длина отрезка \( AK = 14 \)

Это и есть искомые длины отрезков.