найди производные

Привет! Давай разберемся с задачей.

1. Вычисление производных:

   a) Для функции \(2e^x - \ln x\):

   • Производная \(2e^x\) — это \(2e^x\).
   • Производная \(-\ln x\) — это \(-1/x\).
   • Итак, результат: \(2e^x - 1/x\).

   б) Для функции \(x^2 \cdot \log_4 x\):

   • Используем формулу произведения. Пусть \(u = x^2\), \(v = \log_4 x\).
   • Производная \(u\) — это \(2x\).
   • Производная \(v\) в натуральном логарифме: \(\frac{1}{x \ln 4}\).
   • Применяем правило произведения: \(u'v + uv'\).
   • Итак, результат: \(2x \log_4 x + \frac{x^2}{x \ln 4} = 2x \log_4 x + \frac{x}{\ln 4}\).

2. Производная функции \(f(x) = e^{-x^2} \cos x\) и определение, когда она равна нулю:

   • Используем правило произведения. Пусть \(u = e^{-x^2}\), \(v = \cos x\).
   • Производная \(u\) — это \(-2xe^{-x^2}\).
   • Производная \(v\) — это \(-\sin x\).
   • Применяем правило произведения: \(u'v + uv'\).
   • Результат: \(-2xe^{-x^2} \cos x - e^{-x^2} \sin x\).

   Чтобы эта производная равнялась нулю, должно выполняться:

   • \(-2xe^{-x^2} \cos x - e^{-x^2} \sin x = 0\).

   Решаем уравнение:

   • Факторизуем: \(e^{-x^2}(-2x \cos x - \sin x) = 0\).
   • Поскольку \(e^{-x^2} \neq 0\), остаётся \(-2x \cos x - \sin x = 0\).
   • Это уравнение решается либо численно, либо если \(\sin x = -2x \cos x\).

Если остались вопросы, дай знать!