треугольник АВС - равно-бедренный, где АВ = ВС. Докажите, что треугольник КВМ также равнобедренный, если: a) АК = СМ; б) АМ = СК; в) ABK = СВМ.

Для доказательства, что треугольник \( КВМ \) является равнобедренным, мы рассмотрим три условия по отдельности.

a) Если \( АК = СМ \)

1. Пусть \( AK = x \) и \( CM = x \).
2. В треугольнике \( ABC \) имеем \( AB = BC \).
3. Согласно условию, \( AK = CM \).
4. Теперь рассмотрим треугольник \( AKB \):
   • \( AB = AB \) (общая сторона)
   • \( AK = CM \)
   • \( BK = BK \) (общая сторона)
5. Следовательно, по критерию равенства треугольников, треугольник \( AKB \) равен треугольнику \( CMB \), что приводит к равенству углов \( \angle AKB = \angle CMB \).
6. Поскольку \( AB = BC \), то: \[ \angle KBC = \angle MAB \] Таким образом, мы можем утверждать, что углы \( \angle KBM = \angle BKM \), что доказывает, что треугольник \( KBM \) равнобедренный.

b) Если \( АМ = СК \)

1. Пусть \( AM = y \) и \( CK = y \).
2. В треугольнике \( ABC \) имеем \( AB = BC \).
3. Рассмотрим треугольник \( AMB \) и \( CMB \):
   • \( BM = BM \) (общая сторона)
   • \( AM = CK \)
   • \( AB = BC \)
4. По критерию равенства треугольников \( AMB \equiv CMB \) следует, что \( \angle AMB = \angle CMB \).
5. Таким образом, мы можем утверждать, что углы \( \angle KBM = \angle KMB \), что также доказывает, что треугольник \( KBM \) равнобедренный.

c) Если \( ABK = СВМ \)

1. Пусть \( \angle ABK = \angle CBM \) (условие равенства углов).
2. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) имеем \( AB = BC \).
3. Так как \( ABK = CБM \) и у нас равенство углов, это свидетельствует о том, что \( BK = BM \).
4. Следовательно, по определению равнобедренного треугольника \( KBM \) следует, что \( KB = KM \).

Таким образом, в каждом из трех случаев треугольник \( КВМ \) оказывается равнобедренным.