4. Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см. Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что AМ:MB=3:1.

Для решения задачи мы начнем с применения известных свойств прямоугольного треугольника и свойств подобия треугольников.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с катетом AC = 8 см. Мы знаем, что окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M, причем отношение отрезков AM и MB равно 3:1. Это означает, что мы можем обозначить AM как 3x, а MB как x, таким образом:

\[ AM + MB = AB \] \[ 3x + x = 4x \]

Теперь найдем длину гипотенузы AB.

Используем теорему Пифагора, согласно которой для треугольника ABC:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Мы выражаем AB через сторону BC. Однако нам также необходимо найти отношение BC к AC. Поскольку M делит AB в отношении 3:1, мы можем выразить AB как:

\[ AB = AM + MB = 4x \]

Находим координаты точки M. Поскольку окружность с диаметром AC проходит через точку M, мы знаем, что M лежит на окружности, а также что катет AC перпендикулярен гипотенузе AB. Это свойство окружности накладывает особые условия, но для расчета площади нам это не принципиально.

Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]

Поскольку B делит AB в отношении 3:1, мы можем подставить значения и выразить BC через x, воспользовавшись тем, что M является точкой деления:

\[ AM + MB = AB \Rightarrow 4x \]

Таким образом, при равных треугольниках, использующих подобие:

\[ \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3} \]

Мы можем установить, что BC = \( \frac{8}{3} \) см. Теперь подставим все известные значения в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \( \frac{32}{3} \) см².