Lim=(√(x-1)-1) /(√(2x)-2 ) x->2

Чтобы найти предел выражения lim (√(x-1) - 1) / (√(2x) - 2) при x стремящемся к 2, давайте сначала подставим значение x = 2 в выражение.

1. Подставляем x = 2:
   • В числителе: √(2-1) - 1 = √1 - 1 = 1 - 1 = 0.
   • В знаменателе: √(2*2) - 2 = √4 - 2 = 2 - 2 = 0.

Мы получаем неопределенность вида 0/0, что означает, что нам нужно использовать другие методы для вычисления предела. Один из таких методов — это преобразование выражения.

2. Давайте преобразуем выражение. В числителе мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

   √(x-1) - 1 = (√(x-1) - 1) * (√(x-1) + 1) / (√(x-1) + 1).

   Это позволит нам упростить числитель. Теперь перепишем предел:

   lim (√(x-1) - 1) / (√(2x) - 2) = lim [ (x - 1) / ((√(x-1) + 1)(√(2x) - 2)) ] при x -> 2.

Теперь нам нужно упростить знаменатель √(2x) - 2. Также воспользуемся разностью квадратов:

√(2x) - 2 = (√(2x) - 2) * (√(2x) + 2) / (√(2x) + 2) = (2x - 4) / (√(2x) + 2).

Теперь мы можем подставить это обратно в предел:

lim [ (x - 1) / ((√(x-1) + 1) * (2x - 4) / (√(2x) + 2)) ].

Теперь подставляем x = 2:

• числитель: (2 - 1) = 1
• знаменатель: (√(1) + 1) * (2*2 - 4) / (√(4) + 2) = (1 + 1)(4 - 4) / (2 + 2) = 2 * 0 / 4 = 0.

Мы видим, что выражение все еще приводит к неопределенности. Давайте попробуем применить правило Лопиталя, которое позволяет находить пределы в виде 0/0.

Для этого находим производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя: (1/2)(x-1)^(-1/2) * 1 = 1 / (2√(x-1)).
• Производная знаменателя: (1/2)(2x)^(-1/2) * 2 = 1 / √(2x).

Теперь применяем правило Лопиталя к нашему пределу:

lim [ (1 / (2√(x-1))) / (1 / √(2x)) ] при x -> 2.

Это упрощается до:

lim [ √(2x) / (2√(x-1)) ] при x -> 2.

Теперь подставляем x = 2:

= √(4) / (2√(1)) = 2 / (2*1) = 1.

Таким образом, предел lim (√(x-1) - 1) / (√(2x) - 2) при x стремящемся к 2 равен 1.