Даны векторы а {3;1:-1} , b {-5;1;0} , c {-1;-2;1} . Выяснить какой угол( острый, прямой или тупой) между векторами а) а и b, б) b и c, в) а и c
Чтобы определить угол между векторами, можно воспользоваться скалярным произведением. Формула для вычисления угла θ между двумя векторами a и b выглядит следующим образом:
\[ \cos(\theta) = \frac{**a** \cdot **b**}{||a|| \cdot ||b||} \]
где a · b — это скалярное произведение векторов, а ||a|| и ||b|| — нормы (длину) векторов a и b соответственно.
Рассмотрим ваши векторы:
a = {3; 1; -1}
b = {-5; 1; 0}
c = {-1; -2; 1}
1. Угол между векторами a и b:
Сначала найдем скалярное произведение a и b:
\[ **a** \cdot **b** = 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = -15 + 1 + 0 = -14 \]
Теперь найдем нормы векторов a и b:
\[ ||a|| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] \[ ||b|| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1 + 0} = \sqrt{26} \]
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta_{ab}) = \frac{-14}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{26}} \]
Так как скалярное произведение отрицательное (−14), это указывает на то, что угол острый между векторами a и b.
2. Угол между векторами b и c:
Найдем скалярное произведение b и c:
\[ **b** \cdot **c** = (-5) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 5 - 2 + 0 = 3 \]
Теперь найдем нормы векторов b и c:
\[ ||c|| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta_{bc}) = \frac{3}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{6}} \]
Поскольку скалярное произведение положительное (3), угол между векторами b и c также острый.
3. Угол между векторами a и c:
Найдем скалярное произведение a и c:
\[ **a** \cdot **c** = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 = -3 - 2 - 1 = -6 \]
Норму вектора c мы уже нашли, она равна \(\sqrt{6}\).
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta_{ac}) = \frac{-6}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{6}} \]
Поскольку скалярное произведение отрицательное (−6), это также указывает на то, что угол между векторами a и c тупой.
Итог:
- угол между векторами a и b — острый,
- угол между векторами b и c — острый,
- угол между векторами a и c — тупой.
