Даны векторы а {3;1:-1} , b {-5;1;0} , c {-1;-2;1} . Выяснить какой угол( острый, прямой или тупой) между векторами а) а и b, б) b и c, в) а и c

Чтобы определить, какой угол между векторами (острый, прямой или тупой), мы можем использовать скалярное произведение векторов.

Обозначим векторы следующим образом:

• вектор а = {3; 1; -1}
• вектор b = {-5; 1; 0}
• вектор c = {-1; -2; 1}

Сначала найдем скалярное произведение векторов и длины (нормы) каждого вектора.

1. Угол между векторами а и b:

Скалярное произведение векторов а и b вычисляется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = -15 + 1 + 0 = -14 \]

Найдем длины векторов: \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1 + 0} = \sqrt{26} \]

Теперь вычисляем косинус угла между ними с помощью формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \] Подставим значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-14}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{26}} \] Поскольку косинус угла отрицательный, это означает, что угол тупой.

2. Угол между векторами b и c:

Подсчитаем скалярное произведение b и c: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (-5) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 5 - 2 + 0 = 3 \]

Длину вектора c: \[ \|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Теперь считаем косинус: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}{\|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|} = \frac{3}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{6}} \] Косинус положителен, значит угол между b и c острый.

3. Угол между векторами a и c:

Посчитаем скалярное произведение a и c: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 = -3 - 2 - 1 = -6 \]

Теперь считаем косинус: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{c}\|} = \frac{-6}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{6}} \] Учитывая, что косинус отрицательный, угол между a и c также тупой.

Итоговые результаты:

• угол между a и b - тупой
• угол между b и c - острый
• угол между a и c - тупой