1) 15x ^ 2 - 2x - 2 < 0

Чтобы решить неравенство \( 15x^2 - 2x - 2 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \( 15x^2 - 2x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 15 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \). Подставим значения:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 4 + 120 = 124 \]

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-(-2) \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 15} \] \[ x_1, x_2 = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{30} \]

Упрощаем \(\sqrt{124}\):

\[ \sqrt{124} = 2\sqrt{31} \]

Теперь подставим обратно:

\[ x_1, x_2 = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{30} = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{15} \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{31}}{15}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{31}}{15} \]

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем определить, в каких интервалах полином \( 15x^2 - 2x - 2 < 0 \). Знаем, что парабола выглядит как "парабола вверх" (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен).

Проверим знаки в интервалах, образованных корнями:

1. \( x < x_2 \)
2. \( x_2 < x < x_1 \)
3. \( x > x_1 \)

Выберем тестовые точки:

• Для интервала \( (-\infty, x_2) \), например, \( x = -1 \): \[ 15(-1)^2 - 2(-1) - 2 = 15 + 2 - 2 = 15 \] (положительное)

• Для интервала \( (x_2, x_1) \), например, \( x = 0 \): \[ 15(0)^2 - 2(0) - 2 = -2 \] (отрицательное)

• Для интервала \( (x_1, +\infty) \), например, \( x = 1 \): \[ 15(1)^2 - 2(1) - 2 = 15 - 2 - 2 = 11 \] (положительное)

Теперь мы можем заключить, что неравенство \( 15x^2 - 2x - 2 < 0 \) выполняется на интервале:

\[ \left(\frac{1 - \sqrt{31}}{15}, \frac{1 + \sqrt{31}}{15}\right) \]

Это и есть решение неравенства. Если нужны дополнительные пояснения или примеры, пожалуйста, дайте знать!