реши три задачи с решениями и вычислениями по формулам 1.В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = 7/ 6 Найдите АС. 2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 6,…

Решим заданные задачи по очереди.

Задача 1

В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 60° \), угол \( B \) равен \( 45° \), \( BC = \frac{7}{6} \). Найдите \( AC \).

Чтобы найти \( AC \), будем использовать теорему синусов, которая гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a \) — сторона, противоположная углу \( A \) (в данном случае \( BC \)),
• \( b \) — сторона, противоположная углу \( B \) (то есть \( AC \)),
• \( c \) — сторона, противоположная углу \( C \) (то есть \( AB \)).

Сначала находим угол \( C \): \[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Тогда по теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения: \[ AC = BC \cdot \frac{\sin B}{\sin A} \] \[ AC = \frac{7}{6} \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 60°} \]

Значения синусов:

• \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставим значения: \[ AC = \frac{7}{6} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} \approx \frac{7\sqrt{6}}{18} \]

Таким образом, \( AC \approx 1.49 \) (приблизительное значение).

Задача 2

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), \( AC = 4 \). Найдите \( \cos \) угла \( ABC \).

Для нахождения \( \cos B \) можем использовать теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Где \( a = AC = 4 \), \( b = AB = 6 \), \( c = BC = 8 \). Подставляем значения: \[ 8^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos B \] \[ 64 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos B \] \[ 64 = 52 - 48 \cdot \cos B \] Переносим \( 52 \) влево: \[ 64 - 52 = -48 \cdot \cos B \] \[ 12 = -48 \cdot \cos B \] Теперь найдём \( \cos B \): \[ \cos B = -\frac{12}{48} = -\frac{1}{4} \]

Таким образом, \( \cos B = -0.25 \).

Задача 3

Углы \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) равны соответственно \( 64° \) и \( 86° \). Найдите \( BC \), если радиус окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \), равен 13.

Сначала найдём угол \( A \): \[ A = 180° - B - C = 180° - 64° - 86° = 30° \]

Используем формулу для нахождения стороны \( a \) (в нашем случае \( BC \)): \[ a = 2R \cdot \sin A \] Где \( R = 13 \) — радиус описанной окружности, а \( A = 30° \): \[ BC = 2 \cdot 13 \cdot \sin 30° \]

Значение синуса: \[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим значения: \[ BC = 2 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2} = 13 \]

Таким образом, длина стороны \( BC = 13 \).

Эти задачи решены с вычислениями и формулами.