x'=-3x+2y y'=x-4y
Давайте рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
- \( x' = -3x + 2y \)
- \( y' = x - 4y \)
Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод собственных значений и собственных векторов. Прежде всего, мы можем переписать систему в матричном виде. Определим вектор \( \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \). Тогда мы можем выразить систему следующим образом:
\[ \mathbf{X'} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \mathbf{X} \]
Теперь найдем собственные значения матрицы \( A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \). Для этого мы решим характеристическое уравнение:
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
Это приводит нас к вычислению определителя:
\[ \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 2 \\ 1 & -4 - \lambda \end{vmatrix} = (-3 - \lambda)(-4 - \lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 + 7\lambda + 10 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ \lambda^2 + 7\lambda + 10 = 0 \]
Используя формулу корней квадратного уравнения:
\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2} \]
Таким образом, собственные значения:
\[ \lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -5 \]
Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения.
Для \( \lambda_1 = -2 \):
\[ (A + 2I) \mathbf{v} = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0 \]
Решая это, мы можем взять \( v_2 = 1 \), тогда \( v_1 = 2 \). Собственный вектор \( \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Для \( \lambda_2 = -5 \):
\[ (A + 5I) \mathbf{v} = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0 \]
Выражение также приведет к \( v_1 = -v_2 \). Можно взять \( v_2 = 1 \), тогда \( v_1 = -1 \). Собственный вектор \( \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Теперь решение системы будет принимать вид:
\[ \mathbf{X}(t) = C_1 e^{-2t} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{-5t} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные константы, определяемые начальными условиями.
Если у вас есть вопросы по этой теме или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!
