Классификация точек покоя линейных дифференциальной системы сделать фазовый портрет x'=-3x+2y y'=x-4y
Для анализа линейной системы дифференциальных уравнений:
\[ x' = -3x + 2y \] \[ y' = x - 4y \]
нам необходимо классифицировать точки покоя и построить фазовый портрет системы.
Шаг 1: Найдите точки покоя
Точка покоя (или стационарная точка) достигается, когда производные равны нулю:
\[ -3x + 2y = 0 \] \[ x - 4y = 0 \]
Решим эту систему уравнений. Из второго уравнения выражаем \( x \):
\[ x = 4y \]
Подставим это значение в первое уравнение:
\[ -3(4y) + 2y = 0 \] \[ -12y + 2y = 0 \] \[ -10y = 0 \implies y = 0 \]
Теперь подставим \( y = 0 \) обратно в выражение для \( x \):
\[ x = 4(0) = 0 \]
Таким образом, точка покоя \( (0, 0) \).
Шаг 2: Классификация точки покоя
Теперь определим поведение системы вблизи точки покоя, найдя Jacobian матрицу:
\[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Найти собственные значения
Найдем собственные значения матрицы \( J \), решая характеристическое уравнение:
\[ \det(J - \lambda I) = 0 \]
где \( I \) — единичная матрица:
\[ \det\left(\begin{pmatrix}-3 - \lambda & 2 \\ 1 & -4 - \lambda\end{pmatrix}\right) = (-3 - \lambda)(-4 - \lambda) - 2 \cdot 1 = 0 \]
Раскроем определитель:
\[ (\lambda + 3)(\lambda + 4) - 2 = 0 \] \[ \lambda^2 + 7\lambda + 12 - 2 = 0 \] \[ \lambda^2 + 7\lambda + 10 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]
Собственные значения:
\[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 3}{2} \]
Таким образом, получаем два собственных значения:
\[ \lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -5 \]
Оба собственных значения отрицательны, следовательно, точка покоя \( (0, 0) \) является устойчивым седлом.
Шаг 4: Построение фазового портрета
На фазовом портрете стационарная точка (0, 0) будет притягивать траектории, что будет обозначать, что любые orbit, начинающиеся близко к точке покоя, будут сходиться к ней.
- Проведите оси \( x \) и \( y \).
- Определите направления векторов, используя уравнения системы для различных начальных условий.
- Наносите на график направления движения векторов, чтобы получить характерный вид фазового портрета.
Таким образом, вы успешно классифицировали точку покоя и построили фазовый портрет системы! Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
