Определите, является ли один из следующих предикатов, заданных на множестве действительных чисел, следствием другого: «lg 𝑥 ≤ 1», «1 ≤ 𝑥 ≤ 10»; избегай лишней информации
Чтобы определить, является ли один из предикатов следствием другого, рассмотрим оба условия:
- \( \lg x \leq 1 \)
- \( 1 \leq x \leq 10 \)
Рассмотрим первый предикат: \( \lg x \leq 1 \). Это неравенство эквивалентно значению \( x \) в интервале \( [1, 10] \), так как:
- Если \( \lg x \leq 1 \), то \( x \leq 10 \).
- При этом \( \lg x \) определён только для \( x > 0 \), поэтому для действительных чисел это значит \( x \geq 1 \).
Таким образом, \( \lg x \leq 1 \) означает, что \( x \) находится в интервале \( [1, 10] \), что совпадает со вторым предикатом \( 1 \leq x \leq 10 \).
Теперь обратим внимание на второй предикат: \( 1 \leq x \leq 10 \). Если это условие выполняется, то \( \lg x \) будет определено и будет равно значению, которое всегда будет меньше или равно 1.
Следовательно, можно утверждать, что \( 1 \leq x \leq 10 \) является следствием \( \lg x \leq 1 \), но не наоборот.
Таким образом, из двух предикатов первый является следствием второго.
