На окружности с центром в точке O случайным образом выбрали точку X. Какова вероятность того, что эта точка лежит на меньшей дуге CB, если AB и CD — диаметры окружности, а угол BOD равен 36°?
Чтобы определить вероятность того, что случайно выбранная точка \( X \) на окружности лежит на меньшей дуге \( CB \), необходимо сначала проанализировать, какую часть окружности занимает эта дуга.
Окружность делится диаметрами \( AB \) и \( CD \) на четыре равные части. Таким образом, каждый угол, образуемый этими диаметрами в центре окружности, составляет \( 90° \).
Угол \( BOD \) равен \( 36° \). Чтобы понять, какую долю окружности занимает меньшая дуга \( CB \), нужно определить, сколько градусов находится между точками \( C \) и \( B \).
Дуга \( CB \) включает угол \( BOC \), который является дополняющим углом к углу \( BOD \). То есть: \[ \text{Угол } BOC = 180° - 36° = 144° \]
Так как угол \( BOC \) является частью окружности, нужно найти оставшиеся углы. Полный круг составляет \( 360° \). Поэтому угол \( BOC \) поделен на две дуги:
- Дуга \( CB \) занимает \( 144° \).
- Остальная дуга \( CDB \) будет занимать: \[ 360° - 144° = 216° \]
Теперь для вычисления вероятности, что случайно выбранная точка \( X \) лежит на меньшей дуге \( CB \): \[ P(X \in CB) = \frac{\text{длина дуги } CB}{\text{длина всей окружности}} = \frac{144°}{360°} = \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \]
Таким образом, вероятность того, что случайная точка на окружности лежит на меньшей дуге \( CB \), составляет \( \frac{2}{5} \) или 40%.
