Площа основи правильної трикутної піраміди 9√3 см2. бічна грань утворює з площиною основи кут 60° . знайти повну поверхню піраміди
Чтобы найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, нужно учесть как площадь основания, так и площади боковых граней.
Площадь основания уже известна и равна \( 9\sqrt{3} \) см².
Площадь боковых граней: В правильной треугольной пирамиде три боковые грани, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Для нахождения площади боковой грани нам нужно знать ее высоту.
Мы знаем, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. Если обозначить высоту боковой грани как \( h \), а одну из сторон основания как \( a \), то треугольник, образованный высотой \( h \), стороной \( a \) и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, будет прямоугольным.
Используем тригонометрию: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] Зная, что \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), можно выразить \( h \): \[ h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} \]
Теперь нужно найти длину стороны \( a \) через площадь основания треугольника: Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Теперь можем приравнять площадь основания к известной: \[ 9\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Упрощая уравнение: \[ 9 = \frac{1}{4} a^2 \] \[ a^2 = 36 \implies a = 6 \text{ см} \]
Теперь подставим значение \( a \) в формулу для \( h \): \[ h = \sqrt{3} \cdot \frac{6}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Теперь найдем площадь одной боковой грани. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{бок. грань} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Поскольку у нас три такие боковые грани, то общая площадь боковых граней будет: \[ S_{бок. граней} = 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Теперь можем найти полную поверхность пирамиды: \[ S_{полная} = S_{основание} + S_{бок. грани} = 9\sqrt{3} + 27\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Таким образом, полная поверхность пирамиды равна \( 36\sqrt{3} \) см².
