В основании наклонной призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 9 и 15 и острым углом 30°. Найди объем призмы, если её высота равна 3√6.
Для нахождения объема наклонной призмы нам нужно сначала определить площадь её основания, а затем умножить эту площадь на высоту призмы.
Основание призмы имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями \( a = 9 \) и \( b = 15 \), а углом \( \alpha = 30^\circ \).
Найдем высоту трапеции. Высота \( h \) равнобедренной трапеции может быть найдена с использованием формулы: \[ h = a \cdot \sin(\alpha) \] Для данной равнобедренной трапеции:
- Полусумма оснований: \[ \frac{a + b}{2} = \frac{9 + 15}{2} = 12 \]
- Полуразность оснований: \[ \frac{b - a}{2} = \frac{15 - 9}{2} = 3 \]
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту, зная длину катета (половина разности оснований) и угол. Под высотой \( h \) мы можем выразить её через отношение: \[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} \] В данном случае, так как мы нашли полуразность, подставим: \[ h = \sqrt{(15)^2 - (3)^2} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \]
Найдем площадь основания трапеции. Площадь \( S \) равнобедренной трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Подставляем значения: \[ S = \frac{(9 + 15) \cdot 6\sqrt{6}}{2} = \frac{24 \cdot 6\sqrt{6}}{2} = 72\sqrt{6} \]
Теперь находим объем призмы. Объем \( V \) наклонной призмы рассчитывается по формуле: \[ V = S \cdot h_{\text{призмы}} \] Где \( h_{\text{призмы}} = 3\sqrt{6} \) — это высота призмы, как дано в условии.
Подставляем значения: \[ V = 72\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6} = 72 \cdot 3 \cdot 6 = 1296 \]
Таким образом, объем наклонной призмы равен \( 1296 \) кубических единиц.
